Les nombres décimaux sont une représentation pratique et courante des nombres réels. Cependant, dans certains cas, il peut être plus utile de transformer un nombre décimal en fraction irréductible.
Cet article vous expliquera comment effectuer cette transformation en utilisant différentes méthodes.
Méthode 1 : Transformer un nombre décimal en fraction irréductible à l’aide de la méthode des décimales périodiques
Certains nombres décimaux ont une partie décimale qui se répète indéfiniment, appelée décimale périodique. Pour transformer un tel nombre en une fraction irréductible, il est possible d’utiliser la méthode suivante :
Étape 1 : Écrire le nombre décimal sous forme de fraction.
Par exemple, pour le nombre décimal 0,333…, nous avons :
0,333… = 333/1000
Étape 2 : Écrire une équation où x est égal à la fraction représentée par le nombre décimal. Dans notre exemple, nous avons :
x = 0,333…
Étape 3 : Multiplier l’équation par une puissance appropriée de 10 pour éliminer la partie décimale périodique. Pour notre exemple, nous multiplions l’équation par 1000 :
1000x = 333,333…
Étape 4 : Soustraire l’équation originale de l’équation obtenue à l’étape 3 pour éliminer la partie décimale :
1000x – x = 333,333… – 0,333…
Ce qui donne :
999x = 333
Étape 5 : Diviser les deux côtés de l’équation par le plus grand commun diviseur de 999 et 333 pour obtenir la fraction irréductible :
999/333 = 3
Donc :
x = 1/3
Ainsi, 0,333… est égal à la fraction irréductible 1/3.
Méthode 2 : Transformer un nombre décimal en fraction irréductible à l’aide de la méthode de la factorisation
Pour transformer un nombre décimal en fraction irréductible à l’aide de la méthode de la factorisation, procédez comme suit :
Étape 1 : Écrivez le nombre décimal sous forme d’une fraction.
Par exemple, pour le nombre décimal 0,75, nous avons :
0,75 = 75/100
Étape 2 : Simplifiez la fraction autant que possible en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).
Dans notre exemple, le PGCD de 75 et 100 est 25, donc nous pouvons simplifier la fraction en divisant par 25 :
75/100 = (75 ÷ 25)/(100 ÷ 25) = 3/4
Ainsi, 0,75 est égal à la fraction irréductible 3/4.
Méthode 3 : Transformer un nombre décimal en fraction irréductible à l’aide de la méthode de la conversion de base
La méthode de la conversion de base consiste à convertir le nombre décimal en une fraction en utilisant une base différente, puis à simplifier la fraction obtenue. La méthode de la conversion de base est utile pour les nombres décimaux qui ne sont pas périodiques. Voici les étapes à suivre :
Étape 1 : Écrire le nombre décimal sous forme d’une fraction avec un dénominateur de base différente.
Par exemple, pour le nombre décimal 0,625, nous pouvons utiliser la base 2 :
0,625 en base 2 = 0,101
Le dénominateur est 2^3, soit 8. Ainsi, nous avons :
0,625 = 101/8
Étape 2 : Simplifiez la fraction autant que possible en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).
Dans notre exemple, le PGCD de 101 et 8 est 1, donc nous avons :
101/8 est déjà irréductible.
Ainsi, 0,625 est égal à la fraction irréductible 101/8.
Conclusion
Transformer un nombre décimal en fraction irréductible peut être utile pour effectuer des opérations mathématiques telles que l’addition, la soustraction, la multiplication et la division de fractions. Dans cet article, nous avons vu trois méthodes différentes pour transformer un nombre décimal en une fraction irréductible : la méthode des décimales périodiques, la méthode de la factorisation et la méthode de la conversion de base.
Il est important de noter que toutes ces méthodes ne sont pas toujours applicables et peuvent nécessiter une certaine pratique pour être maîtrisées.
Quelle est la fraction irréductible de 50 300 ?
Pour trouver la fraction irréductible de 50 300, nous devons simplifier la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).
Tout d’abord, nous trouvons le PGCD de 50 300 :
50 300 = 2^2 x 5^2 x 503
Le PGCD de 50 300 est donc 100 (2^2 x 5^2).
Nous divisons ensuite le numérateur et le dénominateur par 100 :
50 300 / 100 = 503
Ainsi, la fraction irréductible de 50 300 est 503/1.
Comment simplifier 18 sur 27 ?
Pour simplifier la fraction 18/27, nous devons diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).
Tout d’abord, nous trouvons le PGCD de 18 et 27 :
18 = 2 x 3 x 3 27 = 3 x 3 x 3
Le PGCD de 18 et 27 est 3 (3 x 3).
Nous divisons ensuite le numérateur et le dénominateur par 3 :
18/3 = 6 27/3 = 9
Ainsi, la fraction 18/27 peut être simplifiée en 6/9. Cependant, nous pouvons encore la simplifier davantage en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD qui est également 3 :
6/3 = 2 9/3 = 3
La fraction simplifiée est donc 2/3.
Comment simplifier une fraction sans calculatrice ?
Il y a plusieurs méthodes pour simplifier une fraction sans utiliser de calculatrice :
- Trouver le PGCD : Trouvez le plus grand commun diviseur (PGCD) du numérateur et du dénominateur de la fraction. Divisez ensuite le numérateur et le dénominateur par le PGCD pour obtenir la fraction simplifiée.
- La méthode de la division : Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par un même nombre jusqu’à ce qu’il ne soit plus possible de diviser. Cette méthode est souvent plus rapide pour les fractions simples.
- La méthode de la factorisation : Factorisez le numérateur et le dénominateur en nombres premiers. Éliminez ensuite les facteurs communs pour simplifier la fraction.
Il est important de noter que ces méthodes fonctionnent mieux avec les fractions simples. Pour les fractions plus complexes, il peut être plus facile de les convertir en décimales et d’utiliser une calculatrice pour les simplifier.
FAQ
- Pourquoi est-il important de transformer un nombre décimal en fraction irréductible ?
Les fractions irréductibles sont plus faciles à manipuler mathématiquement que les fractions réductibles. De plus, dans certains cas, il est préférable de travailler avec des fractions irréductibles pour éviter les erreurs de calculs dues à la division.
- Comment savoir si une fraction est irréductible ?
Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur n’ont pas de facteurs communs autres que 1. En d’autres termes, le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) du numérateur et du dénominateur doit être égal à 1.
- Peut-on transformer tous les nombres décimaux en fractions irréductibles ?
Non, certaines décimales, telles que les décimales non périodiques, ne peuvent pas être transformées en fractions exactes. Dans ces cas, nous devons arrondir le nombre à une certaine précision.
- Peut-on transformer une fraction réductible en une fraction irréductible ?
Oui, il est possible de transformer une fraction réductible en une fraction irréductible en simplifiant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
- Comment peut-on utiliser la méthode de la conversion de base pour transformer un nombre décimal en une fraction irréductible ?
Pour utiliser la méthode de la conversion de base, vous devez convertir le nombre décimal en une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. Vous pouvez ensuite simplifier la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD pour obtenir une fraction irréductible.